解谜的艺术(2) 迷宫补记

deducemath · 发表于 2011-4-7 00:36

本帖最后由 deducemath 于 2011-4-7 23:05 编辑

解谜的艺术(2) 迷宫补记

古人多有焚香之趣。除祭祀、去浊等普通用途，焚香对于文人而言其主要作用莫过于营造一种风雅的艺术氛围。轻烟氤氲中，抚琴、作画、弈棋、品茗诸事平添几分雅致。如《听琴图》(局部)所示：苍松下，徽宗道冠缁衣，轻拨琴弦，意态闲雅。其右立高几，上设熏炉。松风竹韵，袅袅青烟，再加俩懂行的大臣作陪，徽宗琴事办得果然不赖。《听琴图》清丽疏朗，而年代稍晚的《伯牙鼓琴图》更古雅些。俞伯牙右侧根形炉架上摆着博山熏炉，这种熏炉是汉、晋时期常见的焚香器具。以高雅著称的林妹妹当然也嗜好焚香，如《红》第二十七回中展现林小姐雅致生活最集中的一句：“林黛玉便回头叫紫鹃道：‘把屋子收拾了，撂下一扇纱屉；看那大燕子回来，把帘子放下来，拿狮子倚住；烧了香就把炉罩上。’”说起闺中人，自然生出“红袖添香”的美妙意象。而古代焚香所用之香并非现在常见的三根一组的立香，而是香丸、香球、香饼、香粉之类。至于如何添香、焚香我略去不谈，对此网上多篇文章有生动的细节刻画。在诸多焚香炉具中，印(篆)香炉颇具趣味。其独特之处在于有一个印(篆)香模，上面镂空成篆字或吉祥图案。使用时，将香料铺在香模上，轻压并刮去多余香料，然后提出香模，便可以得到香篆了。1878年，有人将各种香篆图汇集成书，取名《香印图考》。若干年后，书中的一幅图衍化出一个美妙的谜题。设计这个谜题的正是荷兰传奇汉学家高罗佩(Robert Hans van Gulik)。

宋徽宗《听琴图》局部

《伯牙鼓琴图》元王振朋

印香模

高芝台短暂的一生可谓参差多态，他一不小心学了15种语言，因外交事物周游诸国；他痴迷汉学，娶中国老婆，琴棋书画样样精通，撰写极具东方风情的狄公案系列小说，并把其中的《The Chinese Maze Murder》(即陈来元、胡明译本《迷宫案》，老高自译本题为《狄仁杰奇案》)用古白话译出。芝台雅俗通吃，娱乐活动也颇多，其日记中精当的香艳片段绝不亚于“局长日记”。然而，局长玩玩而已，芝台以《中国古代房内考》遗世，填补巨大学术空白。学养与性灵相融，芝台的想象力天马行空，古雅的风物在狄公小说中化成一个个玄妙的谜题。《迷宫案》中，老高参考《香印图考》设计了一个形似篆书“虚空楼阁”的迷宫。 (原书后记里老高对迷宫的设计来源有下述描述：“The design of the maze reproduced in the present story is in reality that of the cover of a Chinese incense burner. It is an old Chinese custom to place a thin plate of copper with a cut-out and continuous design, on top of a vessel filled to the brim with incense powder. When the powder is lighted at one end of the design, it slowly burns on like a fuse following the design. During past centuries, there were published in China a number of books reproducing various designs of this kind, usually representing some auspicious phrase, and often of great ingenuity. The design utilized in the present story was borrowed from the Hsiang-yin-t'u-k'ao, a book on this subject published in 1878.”) 当然，老高对篆刻艺术的喜好应该也是灵感来源之一。只要你不是傻瓜且有耐心，对任何有限的迷宫而言走到目标位置只是时间长短的问题，更何况还有算法作参考。可惜一般方法对老高的迷宫失效，因为这个迷宫的目标位置是正径所不能到达的，这点恰好暗合“虚空”二字。芝台高明之处不仅在此，破解迷宫的方法也被藏在一幅山水画中。而要识破天机，还得排除藏在画的夹层中假遗嘱的误导作用。在后记里，老高说画中夹带遗嘱的设计模仿了《龙图公案》的一个案子。老高熟谙装裱法(参见高的著作《中国绘画鉴赏》——中国及日本以卷轴装裱为基础的传统绘画手法)，谜题的设计也得力于此。

高罗佩《迷宫案》中的迷宫图

不过，老高的迷宫图与香印图有根本的不同之处。仔细观察会发现所有的香印图拓扑结构都是树，即图中不含圈。具备这种性质的原因有二：1 香篆必须是连通图，否则点燃一处之后不能保证香全部燃尽； 2 香模也必须是连通的，即为一个整体。又因为香模与香篆互为对偶图，所以它们都是树(将香模的边界看做一个点)。显然，老高的迷宫图中含圈，所以原书中的香印图肯定被调整过。

上图为平面上方形区域中整点格子图的一棵支撑树( 外边界看做一个点)。把此树看做围墙的投影图，从而我们得到一个迷宫。围墙内部空白区域的图结构恰好也是一棵树，并与围墙树互为对偶图。由于格子图的支撑树有许多棵，我们可以等概率地选取其中之一，于是得到均匀支撑树(Uniform Spanning Tree)。由均匀支撑树我们便构造了一个(均匀)随机迷宫。利用擦圈随机游动(Loop Erased Random Walk)，1996年Wilson给出了一种非常有效的生成均匀随机迷宫(均匀支撑树)的算法。下面的网站中有现成的演示程序。http://weblog.jamisbuck.org/2011 ... -wilson-s-algorithm
更进一步，我们可以在整个平面上构造一个无穷大的均匀随机迷宫。对于此迷宫中的任意的两个空格只有一条路存在，且从任一个空格出发也只有一条路能通往无穷远(Robin Pemantle1991年所证)。

我们甚至可以在环面上构造均匀随机迷宫，如图所示。Russell Lyons提出如下公开问题：迷宫中的圈有多长(下图以紫罗兰色线圈表示)？假设环面周长为n，Lyons猜测迷宫中圈长度大致为n^(5/4)。参见
http://www.math.indiana.edu/gallery/maze.phtml