解谜的艺术(2) 迷宫

deducemath · 发表于 2010-6-12 04:01

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迷宫注记-那些千回百转的乐趣

“黄蓉向郭靖打个手势，反向后行，庄中道路东转西绕，区区折折，尤其是转弯处的栏杆亭榭全然一模一样，几下一转，哪里还分辨得出东西南北……”
                           ——《射雕英雄传》第13回
美丽的古希腊神话起源

忒休斯的克里特之旅文艺复兴佛罗伦萨画家作  现存于法国Avignon

米诺斯是克里特岛的国王，需向海神波塞冬献祭，苦于自己养的牲畜实在龌龊，于是请求海神赐予一头白牛，海神答允。因此牛身材毛色堪称美的典范，米诺斯不忍杀之，另找牛代替。海神震怒，附体于白牛，诱惑米诺斯的妻子，致使其产下牛首人身的怪物，即米诺陶洛斯。米诺斯建迷宫将其囚禁。祸不单行，米诺斯的儿子在雅典遇害，于是他强迫雅典每9年献7对少男少女，把他们关进迷宫作怪物之食。第3次进献时，雅典王子忒修斯亲自出马，此公修长俊美，米诺斯之女阿里阿德涅对其一见钟情。公主赠其金线团与宝剑，借助这两样宝物，王子杀死怪物后轻松走出迷宫并携公主与少男少女驾船逃走……（可以改编成AVG了。）

“所有的迷宫神话都以这样或那样的方式叙述了这四重故事：旅行、考验、启蒙和复活。”（《智慧之路——论迷宫》P43）

迷宫的描述性定义：拓扑结构为图(状态或位置用点表示，相邻则连边)，从起始点出发到终止点的路不明显，探索的过程存在一些障碍。

广义的迷宫：世界、人生的象征  棋类等博弈游戏  滑块谜题（如华容道）  拓扑解套谜题（如九连环，状态图仅为一条简单的路，虽结构简单，实际操作起来却不平凡）  朝圣之旅(教堂迷宫)
北京圆明园有个黄花阵迷宫，为郎世宁设计，被毁后重建，如图:

使用迷宫的推理或解谜小说：

1《迷宫馆的诱惑》绫辻行人日本推理小说家（文学性差些）

2《迷宫案》  古利克（高罗佩）荷兰汉学家  （美妙的小说，收入《大唐狄公案》，迷宫形状为篆体字“虚空楼阁”，到达迷宫中心的的秘密在一幅画中。）

3《玫瑰的名字》埃科意大利知识分子  （有大量中世纪宗教文化，若算推理小说，最多二等）

博尔赫斯有名的短篇：小径分叉的花园

一个百科全书式的云南总督建造了一个谁也走不出的迷宫，后来被某汉学家揭示其实此迷宫是他留下的充满矛盾的小说手稿，小说中主人公面临不同的选择时选择了所有的可能性（类似于AVG的多线程设计）。“他认为时间有无数系列，背离的、汇合的和平行的时间织成一张不断增长、错综复杂的网。”

可以把红楼梦看做文学迷宫，不过这个迷宫是开放式的，没有终点的迷宫，至今还有很多人在寻找众多的可能性……

Mechanical Mazes ' G2 W3 H2 p" v) T6 R; P" w1 F9 l

如果你把一些Mechanical Puzzles的状态图画出来，再分别将初始和终止状态节点标记为入口和出口，就得到了Mechanical Mazes。马丁加德纳90岁生日时，世界各地的谜题大师们纷纷撰文致敬，这些精妙的小文集锦成书《A Lifetime of Puzzles: A Collection of Puzzles in Honor of Martin Gardner's 90th Birthday》，其中荷兰谜题大师M.Oskar van Deventer 的文章就是论述Mechanical Mazes的。下面为文中三个截图，具体内容大家可以参看网上的电子书（不全）。


AVG中的迷宫
塞伯利亚1 花园迷宫，只可惜游戏没充分利用，主要作风景了。

静物1 机械蜘蛛谜题即为一动态迷宫，很不错的设计。

静物1 还有个简单下水道迷宫，走的时候只知道迷宫的局部信息。

机械迷城里面的电梯锁就是经典的双马换位谜题，见加德纳的书《啊哈！灵机一动》。貌似有点复杂的棋盘图拓扑结构只不过一个简单的圈，在纸上换种画法谜题就很平凡了。

米勒山庄疑案4 也有个小迷宫，走不对就被里面的怪物吃掉（很多电子游戏的迷宫-怪物模式来源于那个迷宫起源神话），虽然拿到了迷宫地图，可是看不懂。

童年的记忆碎片

      幽长狭窄的胡同，高低大小不一的红瓦屋顶，以及连接它们的一道道斑驳的砖墙与庭院树木，自然形成一个独特的空中迷宫。我喜欢在这个迷宫中游荡，如同卡尔维诺《树上的男爵》。这种游荡不只含有冒险的性质，除了需要躲避某些不识趣的大人以及探索新的路线，有时可以躺下来呆看微风中的白云，有时帮邻居大妈采摘香椿树叶，有时偷几串葡萄或未成熟的小葫芦，而最具目的性的莫过于爬到邻居家玩红白机。当年玩的最多的大概为魂斗罗、双截龙和超级玛丽。超级玛丽最后一关（8-4）便是一个很微妙的迷宫，  （全局设计图http://www.gamefaqs.com/nes/525243-super-mario-bros/faqs/54149）攻略如下图

迷宫的数学
* i8 o/ Q) G9 c8 r
维基百科的图片被封掉了，不知道猴年马月能恢复。将每个词条所在的网页看做一个有向图的节点，每个词条的解释当中含有很多其它词条的链接，在词条与其解释中出现的词条所在网页之间连有向边，得到一个很庞大的有向图。这个图应当含有一个巨大的连通分支（渗流现象），此连通分支的直径却很小（小世界现象）。不用搜索引擎，将初始所在词条的网页作为起始点，指定一个目标词条，则在它们之间找路的过程如同在迷宫中摸索。

      渗流理论（概率论与图论的交叉学科，主要研究临界现象）中的随机图可以看成一个随机迷宫。下面是Marek Biskup的关于渗流簇上随机游动问题的PPT截图:

考虑无限大的二维正方形格子图，每条边以概率1-p删除。若p较大，剩余图会包含一个无限大的连通子图，称其为随机迷宫。蜗牛在此迷宫中作随机游动，在适当的尺度变换下，运动轨迹收敛于布朗运动。

      许多谜题的状态图极复杂，如同超级迷宫。例如，魔方的状态图(魔方置换群的Cayley图，参见http://www.jaapsch.net/puzzles/cayley.htm)有43252003274489856000个顶点，每个顶点的度为18（基本旋转数），猜测其直径为20，也就是说，任何一种魔方的初始状态都可以在20步内还原。08年Tomas Rokicki使用群论与计算机证明状态图直径大于等于20小于等于22。见http://www.mathpuzzle.com/30November2008.html 08.8.19添加材料。2010年7月Morley Davidson, John Dethridge, Herbert Kociemba, and Tomas Rokicki最终彻底解决魔方问题，“上帝之数”（God’s Number）为20。见http://www.cube20.org/ 及http://www.mathpuzzle.com/  10.8.9材料。

（国外关于迷宫的书很多，国内似乎只有吴鹤龄先生的《迷宫趣话》论述比较全面，北京理工大学出版社出版，推荐之。）