AVG迷题探索（03）

vexer

  B! L; l. O9 {! P这个还是破箱人中的谜题，要求最后横竖斜之和都是15。谜题本身和涉及的背景知识都还算有趣，学着tabris也来探索下。

1 n# _8 v1 d) v9 [5 e( i% M
# E+ e2 U8 a, B! C, T! b+ [3 d! w

先说解法：
) N( f( I7 B8 T' {
先按图中顺序假设每个位置的数分别是A、B、C、D、E、F、G、H、I。
那么按照要求横、竖、斜之和都是15，可得下面的方程组：
A+B+C=15
% Y3 E" a! I9 o2 K  I% wD+E+F=15
G+H+I=15
$ ?( }& o7 B+ CA+D+G=15
B+E+H=15
C+F+I=15
A+E+I=15
C+E+G=15
这个方程组很明显解是不唯一的，我们不妨先用矩阵的初等变换将其化简（不会线性代数也没关系，原理就是方程组消元，只是操作起来简单点罢了。）：
$ \* M4 t. N0 |  h8 o6 O+ v增广矩阵如下：
8 m* k' z$ T# x% ~
经过适当的行变换（过程就省略了，给大家看个结果。化了我好久啊～九阶的看着我头都晕了）可化为如下形式：
9 d2 K7 Z5 ]# l2 g% Z& i8 D
4 ^' P* b8 b/ l; z经过观察发现第五行（红色）只有一个元素不为0，可得E=5即图形的中心位置数字是5。
6 b1 X# ~$ l. m6 |
此外，也可以按照tabris的方法这样来确定中间的数字：
- m( [% e+ z; d2 b! _
首先注意到，任何一个数字设为x如果放在中间一格，它就会参与四次运算，而且这四次运算中剩余两个数字y、z必须要符合15-x＝y+z，并且在4次运算中y、z要各不相同，因此：
1）如果中间填入9，则15-9＝6，两个不相等的数相加等于6的情况只有1+5、2+4两种情况，不合要求，故9不能填中间；
2）填8，则15-8＝7，相加情况有1+6、2+5、3+4三种情况，也排除；
3）填7，则15-7＝8，相加情况有1+7、2+6、3+5三种，排除；
4）填6，则15-6＝9，相加情况有1+8、2+7、4+5三种，排除（6+3也等于9，但6已经用过了）；
, S5 ~# Q! J2 d+ p. q5）填5，则15-5＝10，相加情况有1+9、2+8、3+7、4+6四种，符合；
* E, q3 o9 w6 I; D! y% c6 D4 r( `.
.
.
" t  Y7 T1 T4 j0 b.
最后确定中间的数只能填5！这个分析方法给出来以后可能更容易理解，但是并不一定每个人都能一开始都想到从这个角度去分析。可以说前一种方法入手简单，列方程、求解都顺理成章，但是计算稍复杂。而tabris的方法不太容易第一时间想到，但是想到后，就简单明了了。大家在解题过程可以根据自己的喜好选择。
8 W* }9 @/ t, V, Y
1 E8 C: y% Q1 r. y/ O接下来就好办了，中心确定后就只剩下四个边了。又因为图形对称，所以经过旋转一条边上的三个数在那边都无所谓，我们不妨假设包含“1”的那一组数（1,x,y）在上边（设其他数也行，分析方法一样）。有x+y=14，不难发现x,y只能是6，8。那么1是在上边的中间还是边上呢？答案是在中间。原因见下图，若是在边上则需要2组包含1的数和为15，而我们只有一组。
% r: D2 s6 G* m7 y  Q

4 x: f- X0 A8 a5 f9 u6 q这样我们就能确定 1，5，6，8，9这5个数字了。（6，8左右无所谓，图形对称的，翻转即可）如下图：
4 r* h- B0 _% _! Z* j2 ^# t

再根据 8+5+2=15确定2，6+5+4=15确定4，8+4+3=15确定3和最后的7，这样需要的方阵就出来了，如图：

至于怎么将九个数字变为这么个形状，那就比较简单了。估计随便一个人试试也能一两分钟搞定，这里就不详说了。给个完成的截图。
1 p; f6 W; B: b1 K
                                                     
8 E& j; E. Z: B$ f" o9 l
最后要说的是：我上面的方法其实只是提供一个数学上的思路，也是顺便证明下答案的唯一（当然旋转和翻转后都算一种）。其实这个问题中国古代就有人解决了，当时叫做“洛图”。并且传有构造的口诀，现在也叫“幻方”谜题中的便是三阶幻方。

alljillcindy

长见识了~~~~数学真是奇妙的东西^_^

) H' T/ L% x- x8 I3 f5 S这种题我解的时候基本就是乱按一气,反正怎么按都能按出来 [s:5]

Icewolf

顺便说一句，如果你不幸把答案算成了
492
357
; @# g3 A  S  O6 x816
+ [' K: f2 u7 o% H( Y  `嘿嘿！你知道会发生什么吗？

幻粼月

我可能太笨了，以前就卡在这里，看了大大的解释豁然开朗

uranus1997

[s:2] 多阶幻方，我曾经编过小程序来求，让计算机自己算比较快

82593918

线性代数什么的，看不懂  [s:16]  [s:16]  [s:16]
% A- C# `. q) k) h) v( c% W弱弱的问下：那个数独的游戏不是幻方吧 [s:21]

konakona

用河图洛书就破了,超简单的.

vexer

引用第17楼fenmu于2007-09-06 21:58发表的 :
$ K; y- }$ o- v% M6 I关于幻方再说一句~

, W/ O) V8 u( o. y, u" u反幻方听说过吗?
5 o2 ]- b) X5 q7 B
6 j) S: y: q, U就是横竖斜每格中的数加起来都不相等~
.......

似乎再某个书上看过～～没记错的话 因该是正旋和反旋两种～

fenmu

关于幻方再说一句~

反幻方听说过吗?

就是横竖斜每格中的数加起来都不相等~

3*3的反幻方有两种排法~
+ s" U! G' S; S- V5 x; T
有人想试试吗？

laien607

记得好像学过的教科书上也有幻方的介绍，
3 l7 \, U! _2 j( @# e7 P不过当时还没游戏可玩 [s:2]