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技巧 关于转动式拼图的通用解法

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[技巧] 关于转动式拼图的通用解法

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楼主
发表于 2015-10-17 13:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式

关于转动式拼图的通用解法

本帖最后由 humphry.l 于 2015-10-17 16:25 编辑 . X8 p6 m8 i& B  d% o4 w4 R

8 A$ E4 }& c9 n; N# O. r

对于AVG里滑动式拼图大家一定不陌生,对各种 3×2 单元做一把循环,很容易就完成,对这类解法不熟悉的可以看这里:http://xy2.netease.com/viewthread.php?tid=1690301(以前论坛上有一偏文章也专门讲述了滑动式拼图的解法,可惜我找不到。另外有哪位坛友能帮助改善下表格混排,论坛的排版似乎不支持表格与文字共用一行)

不过对于转动式的拼图谜题暂时还没有被大家讨论到,它的一般模式是这样的,比如 3×3 形式:

1 4 9
6 7 8
2 3 5

或者是这样 2×4 形式:

1 2 5 8
7 6 4 3

对于 3×3 形式的,谜题要求转换成(记这个形式叫做标准型 M0):

1 2 3
4 5 6
7 8 9

对于 2×4 形式的:谜题要求转换成(记这个形式叫做标准型 N0):

1 2 3 4
5 6 7 8

不同于带空格的滑动式拼图,转动式没有空格,而是在每个 2×2 方格的中间放置了一个小转盘,点击一下就会使得该 2×2 区域产生顺时针或者逆时针转动。我最早遇到的类似谜题还是 2006 年发行的 Safecracker,也就是《破箱人》,里面有一个转动式拼图最终是要拼出美元符号 “$”。这个题看起来很吓人,不过由于里面恰好有两块完全一样而且是紧贴着的空白方块,所以一般玩家很容易过关,当时我也没有注意到正是这个因素导致这个谜题的难度大大下降。不过在后续的其他游戏里我遇到的谜题总是非常讨厌,一般拼到最后总是某两个数字的顺序恰恰相反,除了暴力式无脑转动就是直接看攻略了事。

昨天晚上思考了下,把这类谜题的通用解法记录在帖子里以供大家参考。我们先来观察几个基本情况:

  • 对于 N×N (N>2) 形式的正方形拼图来说,最终都可以化解成 3×3 形式。理由很简单,你总是可以通过很容易的操作把最外围的边都按照要求拼好,然后只剩下一个内层的 3×3,就像这样:) ?; ?: E: R; T! e3 ^" }
N
1 4 7
2 5 8
3 6 9
  • 而其内层的 3×3 在变换为标准型 M0 之前也总是很容易被转换成这样,差别在于 8 和 9 的位置颠倒,把这个记成 M1:
    * u0 ?. q. W/ Y( M
1 2 3
4 5 6
7 9 8
  • 同样地,对于 2×N (N>3) 形式的长方形拼图来说,最终都可以化解成 2×4 形式。理由很简单,你总是可以通过很容易的操作把最外围的边都按照要求拼好,然后只剩下一个内层的 2×4,就像这样:. ]$ o, r9 z3 `1 Y' n
N 1 3 5 7
2 4 6 8
  • 而其内层的 2×4 在变换为标准型 N0 之前也总是很容易被转换成这样,差别在于 4 和 8 的位置颠倒,把这个记成 N1:+ e0 p' t( _4 D) u" u  O
1238
5674
  • 再考虑转动方向的问题。以顺时针方向为例,对于某个固定转盘的连续不间断操作都不应该超过三次,因为到了第四次相当于不转,而顺时针转动的次数 T 相当于用 4 - T 次逆时针转动的次数。这样我们就建立起了转动方向之间的内在联系,为简化模型,我们可以假设每个转盘都是顺时针方向的。+ M6 M1 }, ^8 ~( n

所以问题也就转换成了较简单的 M1 -> M0 以及 N1 -> N0,而且每次都是顺时针方向操作。进一步观察可知,M 和 N 的结构也是非常类似,如果我们固定住 M1 中的 “7”(即不操作左下的转盘),那么剩余的方块也是 8 块,转盘数是三个,和 N1 -> N0 的操作类似。具体的思路见下一楼。

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沙发
发表于 2015-10-17 15:50 | 只看该作者
支持一下,这是我的弱项。
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板凳
 楼主| 发表于 2015-10-17 16:14 | 只看该作者
本帖最后由 humphry.l 于 2015-10-17 16:28 编辑 - Y0 f; J7 }' j. Q

: t  j- b* l; g" V0 K5 M+ K# n- n

根据上面的结论,我们先来研究 N1 -> N0 的操作(我们对于 N1 -> N0 的目的就是交换 4 和 8)。为方便起见,我们把转盘从左往右,依次记为 L、M、R。我们希望能够找到某种LMR的排列构成的操作,这样的操作不要复杂,而且只改变某些元素的位置(必须包含拟交换的元素),被改变位置的元素有一定规律性,针对这样的规律找到公倍数,于是只要重复几次,就可以完成 N1 -> N0 的变换。经过观察我们找到了这样一个操作 Op:

R, M, R, R, L, L, L, R, M, R, L。这个操作使得 N1 变成了下面这样 N2:

1634
2578

可以观察下 N2 和 N1 相比有什么不同:首先,这个操作过程中位置没有变化的是1、3、7,变化的有 4 和 8 交换位置以及由 2、6、5 构成的小三角形完成了一次逆时针转动。事实上只要再完成两次 Op 操作就可以将 N2 变化成 N0(这是因为对于 4 和 8 互换需要 2K+1 次 Op 操作,而对于小三角形转回成原样需要 3L 次 Op 操作,所以取一个最小公倍数 3)。具体每次操作后的表格状态我就不画了,有兴趣的坛友可以自己写个小程序验证下(至于我是怎么找到操作 Op 的,其实也是拿计算机先暴力猜了一遍再提取出规律的,我猜可能和群论有关,和魔方类似,可惜我的数学早就还给老师了,如果坛友里有研究数学的不妨从理论上研究下)。

至于 M1 -> M0,把左上、右上、右下分别记为 L、M、R 的话,也有类似的循环操作 Op,重复次数也是 3 次(大家可以自行验证下):

R, L, R, R, L, L, R, M, M, R, L, M, L, L, L, M, L

7 x/ N  y( ^- T. l. f

这篇文章也是抛砖引玉,希望大家集思广益,看看还能不能找找更简便或者说长度更短的循环操作。

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地板
发表于 2015-10-17 18:45 | 只看该作者
学习一下,这种类型的都是跳过
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5#
发表于 2015-10-19 09:06 | 只看该作者
好厉害呀!!!!经常会遇到这种拼到最后两个位置颠倒的情况!!!都没有这么深入地考虑过……虽然还是看不太懂…………
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6#
 楼主| 发表于 2015-10-19 21:35 | 只看该作者
恶魔出没 发表于 2015-10-19 09:06
( T$ {% o& b- _  @: l% H) Y好厉害呀!!!!经常会遇到这种拼到最后两个位置颠倒的情况!!!都没有这么深入地考虑过……虽然还是看不 ...

6 w; M* @/ I3 I8 |6 `- f1 |. |' A( e哪里写得不太明白,我好改进下
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